向量公式

1、向量的加法：

向量的加法：

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量的加法OB+OA=OC。

a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a；

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法：

如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0。

向量的減法：

AB-AC=CB.即“共同起點,指向被向量的減法減”

a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y')。

3、數乘向量：

實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

當λ＞0時，λa與a同方向；

向量的數乘：

當λ＜0時，λa與a反方向；

向量的數乘當λ=0時，λa=0，方向任意。

當a=0時,對於任意實數λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0,那麼λ=0或a=0。

實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當∣λ∣＞1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；

當∣λ∣＜1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

數與向量的乘法滿足下面的運算律：

結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ.

4、向量的數量積：

定義：已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π.

定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量,記作a·b.若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的數量積的座標表示：a·b=x·x'+y·y'.

向量的數量積的運算律：

a·b=b·a（交換律）；

(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)；

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

向量的數量積的性質：

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的數量積與實數運算的主要不同點：

1、向量的數量積不滿足結合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

2、向量的數量積不滿足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

5、向量的向量積：

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量,記作a×b（這裏並不是乘號,只是一種表示方法,與“·”不同,也可記做“∧”）.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.

向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.

a×a=0.

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.

向量的向量積運算律：

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

a×（b+c）=a×b+a×c.

注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.

6、三向量的混合積：

向量的混合積：

定義：給定空間三向量a、b、c,向量a、b的向量積a×b,再和向量c作數量積(a×b)·c,

向量的混合積所得的數叫做三向量a、b、c的混合積,記作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。