徑向分佈圖是通用的嗎

徑向分佈圖不是通用的。徑向分佈即徑向分佈函數通常指的是給定某個粒子的座標，其他粒子在空間的分佈概率（離給定粒子多遠）。所以徑向分佈函數既可以用來研究物質的有序性，也可以用來描述電子的相關性。通常對於晶體，由於其有序的結構，徑向分佈函數有長程的峯，而對於amorphous（非晶態物質）的物質，則徑向分佈函數一般只有短程的峯。粒子，是指能夠以自由狀態存在的最小物質組成部分。最早發現的粒子是原子、電子和質子，1932年又發現中子，確認原子由電子、質子和中子組成，它們比起原子來是更為基本的物質組分，於是稱之為基本粒子。

小編還為您整理了以下內容，可能對您也有幫助：

徑向分佈圖和徑向概率的區別

在二維直角座標系中，可以畫出單變量的函數的圖像，得到的是曲線；在三維直角座標系中，可以畫出兩個變量的函數的圖像，得到的是曲面。

在三維直角座標系中，不能畫出含有三個變量的波函數Ψ(x，y，z)的圖像。在球座標系中，波函數表示為Ψ(r，θ，Φ)=R(r)Y(θ，Φ)，也不能在三維空間畫出其圖像。因此，波函數的變化只能從徑向部分R(r)和角度部分Y(θ，Φ)分別加以討論，從不同側面畫出其圖像，以理解Ψ(r，θ，Φ)隨r和θ，Φ的變化。

1. 徑向概率分佈圖

從圖5-4可以瞭解|Ψ|2-r的變化趨勢。對於1s電子，概率密度|Ψ|2隨r增大而減小。

若考慮電子在單位厚度的薄層球殼內的概率隨r的變化情況，可以找出與核的距離為r處的薄層球殼厚度為△r時的概率(圖5-6)。

圖5-6 1s電子的圖像

(a)|R|2隨r變化圖；(b)電子雲圖：(c)半徑不等的單位厚度的球殼

在距離核r處的球面積為4πr2，則薄層球殼的體積近似為4πr2△r。只考慮|Ψ|2隨r的變化，可以用徑向概率密度|R|2代替|Ψ|2。所以，電子在與核的距離為r處、薄層球殼厚度為△r時的體積內出現的概率為

w=4πr2△r|R|2

電子在單位球殼厚度內出現的概率為

D(r)稱為徑向分佈函數，表示距核r處在單位厚度的球殼內電子出現的概率。由D(r)對r作圖，可得各種狀態的電子徑向概率分佈圖(圖5-7)。

由徑向概率分佈圖可知，1s有1個概率峯，2s有2個概率峯…，ns有n個概率峯；2p有1個概率峯，3p有2個概率峯…，np有(n-1)個概率峯；3d有1個概率峯，4d有2個概率峯……nd有(n-2)個概率峯。依此類推，電子每種運動狀態的概率峯個數為

N峯=n-l

圖5-7 徑向概率分佈圖

兩個峯之間有一個概率密度為0的節面，則電子每種運動狀態的概率密度為0的節面數為

N節面=n-l-1

文章來源：《無機化學核心教程（第二版）》

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關於化學的軌道問題 4s和3d哪個比較大，要解釋，，

軌道其實是一個波，而這個波的最外面一圈的波長是無窮大的，所以不能比

近似的比較方法

1、比較最概然半徑，就是兩個軌道分別得出現電子概率最高的半徑。4s大一點，畢竟是主量子數多了1。這個可以從徑向分佈圖看出來

2、比較積分到95%概率的半徑（一般認為達到95% 就基本上算是所有的了）這樣比還是4s大一點。（（其實還是從徑向分佈圖.........）

波函數的徑向概率分佈是如何定義的?徑向概率分佈圖是怎樣得到的

由波函數的徑向分佈圖可以看出核外電子是按層分佈。

波函數的徑向分佈圖：被核勢場束縛的電子，代之以電子波的圖像。電子其實沒有軌道的概念，只有一個大致的空間運動範圍，和空間每一點上波（振動）的幅度，這個幅度在空間分佈的函數，就是波函數的徑向分佈圖

電子概率的什麼表示了電子在整個空間出現的概率隨半徑變化的情況

電子概率的徑向分佈圖表示了電子在整個空間出現的概率隨半徑變化的情況。

電子 (Electron)，是最早發現的基本粒子，帶負電，電量為1.602176634×10-19庫侖，是電量的最小單元，質量為9.10956×10-31kg，常用符號e表示。1897年由英國物理學家約瑟夫·約翰·湯姆生在研究陰極射線時發現。

一切原子都由一個帶正電的原子核和圍繞它運動的若干電子組成。電荷的定向運動形成電流，如金屬導線中的電流。

利用電場和磁場，能按照需要控制電子的運動（在固體、真空中），從而製造出各種電子儀器和元件，如各種電子管、電子顯微鏡等。電子的波動性於1927年由晶體繞射實驗得到證實。

電子（electron）是帶負電的亞原子粒子。它可以是自由的（不屬於任何原子），也可以被原子核束縛。原子中的電子在各種各樣的半徑和描述能量級別的球形殼裏存在。球形殼越大，包含在電子裏的能量越高。

在電導體中，電流由電子在原子間的運動產生，並通常從電極的陰極到陽極。在半導體材料中，電流也是由運動的電子產生的。但有時候，將電流想象成從原子到原子的缺電子運動更具有説明性。

半導體裏的缺電子的原子被稱為空穴（hole）。通常，空穴從電極的正極"移動"到負極。

電子屬於亞原子粒子中的輕子類。輕子被認為是構成物質的基本粒子之一。它帶有1/2自旋，即又是一種費米子（按照費米—狄拉克統計）。電子所帶電荷為e=-1.6×10-19C（庫侖），質量為9.11×10-31kg（0.51MeV/c2），能量為5.11×105eV，通常被表示為e⁻。

電子的反粒子是正電子，它帶有與電子相同的質量，能量，自旋和等量的正電荷（正電子的電荷為+1，負電子的電荷為-1）。

什麼叫做角度分佈圖，可以從電子雲角度分佈圖來解釋下

電子雲為電子在核外空間各處出現概率密度大小的形象化描述，概率密度= |Ψ |2，|Ψ |2 的圖象為電子雲。因而用Y2( θ，φ )－θ，φ作圖即得到電子雲的角度分佈圖。其圖形與原子軌道角度分佈圖相似，不同之處有兩點：

由於Y≤1，Y2≤Y（更小），所以電子雲角度分佈圖瘦些。原子軌道角度分佈有+、-號之分，( Y有正負號，代表波函數的對稱性並不代表電荷)，電子雲的角度分佈圖沒有正負號。

擴展資料

在量子力學中，用一個波函數Ψ（x，y，z）表徵電子的運動狀態，並且用它的模的平方|Ψ|²值表示單位體積內電子在核外空間某處出現的概率，即概率密度，所以電子雲實際上就是|Ψ|²在空間的分佈。研究電子雲的空間分佈主要包括它的徑向分佈和角度分佈兩個方面。

徑向分佈探求電子出現的概率大小和離核遠近的關係，被看作在半徑為r，厚度為dr的薄球殼內電子出現的概率。角度分佈探究電子出現的概率和角度的關係。例如s態電子，角度分佈呈球形對稱，同一球面上不同角度方向上電子出現的概率密度相同。

p態電子呈8字形，不同角度方向上概率密度不等。有了pz的角度分佈，再有n=2時2p的徑向分佈，就可以綜合兩者得到2pz的電子雲圖形。由於2p和3p的徑向分佈不同，2pz和3pz的電子雲圖形也不同。

參考資料來源：百度百科-電子雲

參考資料來源：百度百科-電子亞層

角節面和徑節面的概念

角節面是指角度分佈圖中的節面數，數量為l;徑節面是指徑向分佈圖中的節面數，數量是n-l-1。

例如2p軌道的角節面數為l=1,徑截節面數為n-l-1=2-1-1=0；3p軌道的角節面數為l=1，徑截節面數為n-l-1=3-1-1=1。

現代原子結構理論的基本觀點有哪幾條

1．微觀粒子的波粒二相性

德布羅衣預言微觀粒子都具有波粒二相性

∵ E＝hυ E＝m c2 ∴ 對於光 p＝m c ＝ 則

2．電子繞射實驗證實了電子運動的波動性

微觀粒子的波動性是一種統計性的概率波，這是一種抽象的波，其強度與空間某一點找到該粒子的概率成正比。

3．測不準原理 △ •△ ≥

微觀粒子要同時準確地測量其位置和動量是不可能的。電子在核外運動不可能有一條嚴格的軌道，研究核外電子的運動只能用統計的方法找到電子在空間經常出現的區域。

4．波動方程

描述微觀粒子運動的穩定狀態對應規律的二階偏微分方程，它的解是一系列的波函數ψ的具體表達式，該表達式反映空間某範圍內微觀粒子出現的概率。

5．四個量子數

量子數是表徵微觀粒子運動狀態的一些特定數字，它是為使波動方程有合理的解而必須滿足的三個量子化條件。（確定一個軌道用三個量子數，而確定一個電子需用四個量子數）

① 主量子數n 表徵原子軌道概率最大區域離核的遠近及能量高低。

n ＝1 、2 、 3 、4 …… （可取非零的任意正整數

電子層符號 K L M N O ……

② 角量子數l (或副量子數) 表徵原子軌道在空間的形狀及能量的高低。

l ＝ 0 、1 、2 、3 、4 …… （n－1）（可取n 個從0開始的正整數）

亞層符號 s p d f

軌道形狀 分別對應為球形 、啞鈴形 、蝴蝶形 、（極複雜圖形）等

③ 磁量子數m 表徵原子軌道在空間的伸展方向。

m＝ 0 、±1 、±2 、±3 …… ±l

④ 自旋量子數m s 表徵電子自旋的兩種不同方式。

6．現代原子軌道的涵義（區別於玻爾軌道）

原子軌道 由對應一組n 、l 、m 所確定的電子運動某一穩定狀態。

（或波函數ψ所確定的空間區域）

原子軌道符號 ψn ，l ，m （所以，波函數ψ和原子軌道可視為同義語）

7．波函數的空間圖象

① 原子軌道角度分佈圖 表徵原子軌道在空間的形狀（圖中＋、－表示角度波函數ψ在該區域為正或負，不代表電荷的＋、－。）

② 徑向分佈圖（或徑向分佈函數D (r) － r 圖） 表示概率沿半徑方向的變化情況

8．概率密度和電子雲

概率密度 空間某處單位體積中出現的概率。其數學表示為 。

電子雲 電子在核外空間出現的概率密度分佈的形象化描述法

電子雲的表述法 黑點圖 ，等密度面圖 ，界面圖 ，輪廓圖 ，徑向概率密度圖 ，電子雲的角度分佈圖 。

有了一個徑向分佈函數的圖像怎麼分析

在統計力學中，粒子系統（原子、分子、膠體，……）中， 徑向分佈函數, (也叫做 對關聯函數) 為相距參考粒子處粒子的密度。

對於均勻和各項同性體系，設參考粒子處於原點 O，粒子平均數密度為 ，距離 O 處局域時間平均密度為 。

高中化學 對核外電子運動狀態描述有哪幾種 哪種最詳細

粘過來的，僅供參考，希望可以幫到你！

一、波函數和原子軌道

1.波動方程

描述宏觀物體運動狀態的狀態方程F=ma，即牛頓第二定律。那麼對微觀粒子的運動，能不能也有個狀態方程呢？1926年，奧地利物理學家薛定諤根據德布羅依預言，提出了描述微觀粒子運動狀態的波動方程，稱為薛定諤方程其基本形式是：

這是個高等數學中的二階偏微分方程，式中x、y、z為粒子在空間的直角座標，m可近似看作是電子質量，E為總能量即電子的動能和勢能之和，V是勢能即核與電子的吸引能，ψ為方程的解（ψ是希臘字母，讀做普賽[Psi]）。

薛定諤方程是用來描述質量為m的微觀粒子，在勢能為V的勢場中運動，其運動狀態和能量關係的定態方程。因為薛定諤方程的每一合理的解ψ，都表示該粒子運動的某一穩定狀態，與這個解相應的常數E，就是粒子處於這個穩定狀態的能量。由於有很多解，説明具有多種運動狀態。對於一定體系，能量最低的狀態稱為基態，能量較高的狀態稱為激發態。粒子由一個狀態躍遷到另一狀態，能量的改變量是一定的，不能取任意的數值，即能量是量子化的由於薛定諤方程是高等數學中一個微分方程，與初等數學中方程不同，它的解ψ不是一些數而是些函數。它是波的振幅與座標的函數，因此稱作波函數。

2.波函數（ψ）

如上所述，波函數ψ就是薛定諤方程的解，是描述核外電子空間運動狀態的數學函數式。如同一般函數式有常量和變量一樣，它包含三個常量和三個變量，它的一般形式為

式中n、l、m為三個常量，x、y、z為三個變量。

電子在核外運動，有一系列空間運動狀態。每一特定狀態就有一個相應的波函數ψ和相應的能量E。如有1s、2s、2p、3d、4f……等等核外空間狀態，就有ψ1s、ψ2s、ψ2p、ψ3d、ψ4f……和E1s、E2s、E2p、E3d、E4f……與其相對應。或者説一個確定的波函數ψ就代表着核外電子的一個空間運動狀態，電子處於這個空間狀態運動時就具有確定的能量和其它一些相應的物理量。

[思考題]波函數是什麼，它有明確的物理意義嗎？

3.波函數的圖象

人們通常用幾何圖形來形象地描述抽象的函數式，這就是函數的圖象。大家熟知的y=ax+b的圖象就是一條直線。而且由數學知識還知道，一變量函數的幾何圖形是線，必須用二維座標的平面圖才能表示出來[圖2－25，（1）]；二變量函數的幾何圖形是面，必須用三維座標的立體圖才能表示出來[圖2－25，（2）]；以此推斷，三變量函數的幾何圖形是立體的必須用四維座標的辦法，才能表示出來，這是十分困難的，所以多變量函數的圖象表示是很複雜的。

波函數ψ既是函數，也可用圖象來形象描述。但它是個三變量函數，其完整的圖象是很難直接表示出來的。進一步研究，對於氫原子單電子體系。可採取數學上的座標變換和變量分離的辦法，把一般的波函數變成下列形式：

ψn、l、m（x、y、z）=ψn、l、m（r、θ、φ）=Rn、l（r）Yl、m（θ、φ）

這樣，直角座標中變量x、y、z變換為球座標中變量r、θ、φ，並且整個波函數ψ分成為函數Rn、l（r）和Yl、m（θ、φ）兩部分。Rn、l（r）這個函數的變量r是空間粒子到原點（核）的距離，是與徑向有關的，因此稱為徑向函數或徑向部分。Yl、m（θ、φ）這個函數的變量θ和φ是空間粒子與原點連線和z軸的夾角及其在xy面上投影與原點的連線和y軸的夾角（圖2－26），都是與角度有關的，所以稱為角度函數或角度部分。

表2-9列出若干氫原子波函數及其徑向部分和角度部分角度部分圖示

角度函數Yl、m（θ、φ）是二變量函數，其值是隨θ和φ的變化而改變，它的幾何圖形是面，可用三維座標來表示。

所有s態波函數的角度部分都和1s態相同

它是一個與角度（θ、φ）無關的常數，所以它們的角度分佈圖是一個

又如所有的pz態波函數的角度部分都為

Ypz和Ys不同，隨θ角的大小而改變。不同θ值時的Ypz值（也可以不考慮Ypz值中的常數部分，僅取cosθ值）如下：

從原點出發引出相當於各θ角的直線，在各直線上分別截取相當於Ypz=（或cosθ值）數值的線段，聯接這些線段的端點，便得到圖中的曲線[圖2－27，（1）]。因為相當於同一θ角的各個方向是以OZ軸為軸的錐面[圖2－27，（2）]，所以須將上述曲線繞OZ軸旋轉一圈，便得到上下兩個封閉的立體曲面[圖2－27，（3）]，這就是pz態波函數的角度部分圖示。

波函數角度部分圖示又稱為原子軌道的角度分佈圖，它可理解為在距核r處的同一球面上，各點的波函數數值的相對大小。反映了波函數數值在同一球面上，不同角度，不同方向上的分佈情況。如上面繪製的pz波函數的角度部分圖示的曲面好似兩個對頂的“球殼”。曲面上一葉的波函數數值為正，下一葉為負。

[思考題]波函數角度部分圖示中的正、負號，表示的是正電荷和負電荷，對嗎？為什麼？

s、p、d態的波函數角度部分圖示（平面圖）如圖2－28所示。

波函數的角度部分圖示的形狀與常量n無關。例如，1s、2s、3s或ns其角度部分圖示的都是球形。各p態、d態和f態也是如此，各具有相同的形狀，所以在這種圖中常不寫狀態前n的數值。在化學鍵的形成中常用到波函數的角度部分圖示。

[思考題]由波函數角度部分圖示能否説s態的電子在核外空間運動是個圓，而p態電子是走8字形呢，為什麼？

（2）徑向部分圖示

徑向函數Rn，l（r）是一個變量的函數，其值是隨r的變化而改變。它的幾何圖形是線，可用二維座標來表示，即R（r）值與r的對畫圖。

圖2-29給出了一些常用的氫原子波函數徑向部分圖示。

波函數徑向部分圖示，可理解為在任意指定方向上，距核為r處的某點波函數數值的相對大小。反映的是波函數相對數值在距核不同r處的分佈情況，它是與常量n、l都有關。如圖所示，1s態波函數的徑向部分圖示只為正值，而且離核越近正值越大。但其它s態的徑向函數R（r）數值隨r的不同也可為負值，如3s態，R（r）隨r的增大由正值逐漸減小變為負值，後來又轉為正值。

波函數圖象上有正、負值，這是因為波函數是粒子波動性的反映，波函數在空間具有起伏性，可以為正值，可以為負值，也可以為零。波函數圖象上改變正負號的點或面（即波函數數值為零），稱為波函數的節點或節面。另外波具有可疊加性，波函數也具有可疊加性，其圖象也可以疊加。

[思考題]波函數的圖象是不是就是核外電子運動的圖形，為什麼？

4.原子軌道

電子在原子核外空間運動，它並不象行星繞太陽那樣有一定的運行軌道。它的行為遵循量子力學的規律，它的運動狀態可用波函數ψ來描述，習慣上仍稱波函數ψ為“原子軌道”（或更正確稱原子軌道函數或簡稱原子軌函）。而實際上並沒有經典力學中那種“軌道”的含義，所謂原子軌道只不過是代表原子中電子空間運動狀態的一個波函數，所以説原子軌道是波函數的同義語。

波函數或原子軌道的概念是結構化學討論問題的一個基礎概念，究竟怎樣來理解波函數的物理意義呢？

二、概率密度和電子雲

從理論上可以由薛定諤方程的解波函數來描述核外電子空間運動狀態，那麼波函數如何來描述核外電子空間運動狀態呢？這是與電子在核外空間出現的概率密度有關的，是與微觀粒子運動規律上的統計性相聯繫的。

1.微觀粒子運動規律上的統計性

一個電子在核外極微小的空間內作非常高速的運動，它的一個穩定狀態一定是千萬次瞬間變化的結果。雖然它具有波動性，不可能同時準確測定它的位置和動量。但是可從千萬次瞬間變化中，由統計學上的方法，用電子在核外空間出現機會的多少作概率性的判斷。這也反映出微觀粒子運動規律上具有統計性。

（1）日常的統計現象

機會在自然界的事物中起着很重要的作用，大量多次的事件中總包含着統計性。日常中的統計現象是很多的，比如射擊打靶，運動員的命中率就遵循統計規律。雖然無法事先確定每次打中靶的具體位置，但大量射擊的結果就能得出一定的規律性。比如打一千次命中十環若是五百次，那麼命中十環的機會就是百分之五十；如果命中九環的是二百五十次，那麼中九環的機會就是百分之二十五；如果脱靶兩次，那脱靶的機會就是百分之零點二。這種“機會”的百分數（或小數）統計學上就稱為概率（概率），這是大量多次行為的結果，是個統計的數字，重複次數越多，越準確。分析一下射擊後的靶圖（圖2－30），這是張圍繞中心分佈的斑斑點點的圖象。圖中心的洞眼最密，外圍的洞眼依次變稀，可以説中心的概率密度最大，外圍的概率密度依次變小。這是個平面圖，單位面積的概率就是概率密度。對三維空間而言，概率密度就是指空間某處單位體積中出現的概率。要注意概率與概率密度雖都是統計學上的概念，但兩者是不同的，概率是指機會的多少或大小，是個百分數或小數，是沒有單位（或量綱）的。而概率密度則是單位體積內的概率，有個密度的概念在裏面，是有單位（或量綱）的。

核外電子的運動也具有這種統計性，下面就用統計的方法來分析電子繞射圖。

（2）電子繞射圖的統計分析

電子繞射圖是用較強的電子流通過金屬箔（作光柵），在極短的時間內得到的圖片。如果設想電子流的強度小到電子是一個一個地發射出去的，在感光底片的屏上就會出現一個、一個被感光了的斑點，顯示出電子的微粒性。由於電子運動具有二象性，不可能準確地知道電子在屏上的落點及中間的途徑。但屏上總會有個斑點，而且每個斑點總不都重合在一起的[圖2－31，（1）]。隨着時間的延長，繞射斑點的數目逐漸增多，這些斑點在底片上的分佈就顯示出繞射圖樣來。只要時間足夠長，得到繞射花樣與強電子流極短時間得到的一樣[圖2-31，（2）]。由此可見，電子繞射花環的出現並不是不可思議的，它只不過是一個電子多次運動的統計性結果或是多個電子運動統計性的結果。所觀察到的現象，實際是一種統計性規律的反映。因此，德國玻恩（Born，M.）認為，電子的波動性是許多相互的、條件相同的電子運動的統計結果，是和電子運動的統計性規律聯繫在一起的。就大量電子的行為而言，繞射強度（即波的強度）大的地方，電子出現的數目多；繞射強度小的地方，電子出現的數目就少。就一個電子行為而言，可以認為是一個電子重複進行千萬次相同的實驗，也一定是在繞射強度大的地方出現的機會多，即概率密度大；在繞射強度小的地方出現的機會少，即概率密度小。因此，電子的繞射波在空間某點的強度是和電子出現的概率密度成正比。實驗所揭示的電子波動性是大量電子運動或是一個電子進行大量多次相同實驗的統計結果。電子波實質是“概率波”，波的強度反映電子出現概率密度的大小。同樣，原子核外電子運動的情況也是如此，進一步分析可得如下的關係：

∵繞射強度∝粒子密度ρ（或概率密度）

而波動力學指出：繞射強度∝|振幅|2，波函數ψ正是電子波的振幅與位置座標的函數，也即ψ就代表着電子波的振幅。

∴繞射強度∝|ψ|2

對比一下，就可得出：核外電子出現的概率密度∝|ψ|2

這樣電子在核外空間某點的概率密度就可以用相應的波函數在該點所取值的絕對值平方來表示。由此也可看出，ψ是表示核外電子空間運動狀態的函數；而|ψ|2則表示處於該態電子在核外空間出現的概率密度。

[思考題]核外電子的波動性真的就象橫波、駐波那樣嗎？

2.概率密度分佈的形象化表示——電子雲

（1）電子雲概念

波函數絕對值平方|ψ|2代表電子在核外空間各點的概率密度。因而可用小黑點的疏密程度來表示空間各點的概率密度大小，|ψ|2大的地方，黑點較密；|ψ|2小的地方，黑點較疏。以基態氫原子為例，將1s波函數平方即可求得空間各點|ψ|2的數值。

再根據|ψ1s|2的數值，按黑點的疏密程度可畫出氫原子1s態的概率密度分佈圖形如圖2－34所示。

[思考題]上述氫原子基態概率密度分佈圖只是一個電子運動的反映，為什麼？

由上圖可看出，氫原子的電子並不是在固定軌道上運動，而是在核外一個較大的空間都可以找到。而且在空間不同地點找到電子的機會並不一樣，是不均勻分佈的。單位體積內找到電子的機會隨離核距離r增大而減小。換句話説，核附近單位體積內找到電子的機會就多如圖2－32中1，反之離核越遠機會就越少如圖2－32中2。

但是考查不同的同心球殼（即離核不同r的球殼）中的概率總數時，發現核附近概率密度雖大，但總概率並不是最大。對氫原子來説，原子半徑為52.9（pm）的球殼概率最大。

這一點可這樣來理解：假定考查電子離核距離為r1、r2、r3三個單位球殼內的總概率。

若已知： r1 r2（r2=2r1） r3（r3=3r1）

各球殼概率密度ρ 0.5 0.3 0.1

∵概率=概率密度×體積，而球殼體積=4πr2×厚度，單位球殼即厚度為1的球殼。

∴各球殼總概率

∴總概率還是r2處單位球殼內最大。核附近概率密度雖最大，但因其體積小，二者乘積即總概率並不最大。

對氫原子基態，從概率密度看，由核向外是越來越少，但從球殼總概率看，在距核52.9皮米單位球殼最大。要注意的是上圖中黑點數目，對一個氫原子來説並不代表電子的數目，而是代表一個電子在空間各點出現的概率大小，是一個電子運動規律上統計性的反映。

由上可看出，按概率密度的分佈，電子彷彿是分佈在核的周圍空間，就如同這些黑點似的，象籠罩在核外的雲霧一樣。因而常常形象地將電子在核外空間的概率密度分佈，即|ψ|2在空間的分佈圖稱為電子雲。但這並不是説電子真的象雲那樣分散，不再是一個粒子，只是對電子運動具有統計性的一種形象地説法。所以電子雲就是電子在核外空間出現的概率密度分佈的形象化描述法。

電子不同的空間運動狀態，就有不同的ψ，也就有不同的概率密度分佈。而其形象化的描述就是電子雲，因此也就有不同形狀的電子雲。那麼不同形狀的電子雲是如何得出？波函數ψ是個函數，同樣|ψ|2仍是個函數。與波函數的圖象一樣，|ψ|2也有圖象，也即電子雲的圖形。

[思考題]電子雲就是高速運動着的電子所分散成的雲，對嗎，為什麼？

（2）電子雲的角度分佈、徑向分佈與概率徑向分佈

|Y（θ、φ）|2為電子雲角度分佈函數。它可以理解為在距核r處的同一球面上、各點的概率密度的相對大小。反映的是概率密度在同一球面上，不同角度，不同方向上的分佈情況，它與常量n無關。由|Y（θ、φ）|2－θ、φ作圖，可得到電子雲角度分佈圖。氫原子的s、p、d態的電子雲角度分佈如圖2－33所示。

[思考題]將圖2－28與圖2－33對比，電子雲角度分佈圖要“瘦”些，而且各曲面取值都是正值，這是為什麼？

|R（r）|2為電子雲徑向分佈函數，它表示在任意指定方向上，距核為r處的某點電子出現的概率即概率密度。反映的是概率密度在距核不同r處的分佈情況，它與常量n與l有關。

由|R（r）|2－r作圖，可得到電子雲徑向分佈圖。氫原子的1s、2s、3s和2p、3p、3d的電子雲徑向分佈如圖2－34所示。

前面談到，電子離核越近，概率密度越大。但從概率來看，並不一定是離核越近的越大，而且不同態的情況也不一樣。由於距核r處單位球殼中出現的概率為4πr2dr×概率密度，也即4πr2dr|R（r）|2，就令D（r）＝4πr2|R（r）|2為概率的徑向分佈函數。它反映的則是距核半徑為r處的球面附近、單位厚度整個球殼內電子出現的概率，將D（r）－r作圖，就得到概率徑向分佈圖。

圖2-34（2）是氫原子1s態電子的概率徑向分佈圖。圖中極大值正好在玻爾半徑（r=a0=52.9pm）處。它表明在半徑為52.9皮米附近的單位球殼內電子出現的概率，比任何其它地方單位球殼內的大。在這個意義上，可以説玻爾軌道是量子力學處理結果的一種粗略近似。

下面是氫原子一些不同態的概率徑向分佈圖：

由圖可看出，都有個概率最大的主峯，而且常量n值越大，主峯離核越遠。這也説明核外電子雖無固定軌道，但概率分佈是遠近不同的，按出現概率大小，電子雲是可以有不同密度的集中區域。此外2s、3s……主峯外還有小峯，説明這些態電子也有機會滲透到核附近。所以按核外電子出現概率，電子雲既是可分層的，又是可相互滲透的。

電子雲的角度分佈圖表示了電子在核外空間不同角度出現的概率密度大小，從角度側面反映了電子概率密度分佈的方向性。電子雲的徑向分佈圖反映的是概率密度在距核不同處的分佈情況。而概率的徑向分佈圖則表示電子在核外空間球殼內出現的概率隨半徑r變化的情況，從而反映了核外電子概率分佈的層次及穿透性，常用來討論多電子原子的能量效應（屏蔽和鑽穿效應）。

（3）電子雲分佈圖（黑點圖）

上面從角度和徑向兩個側面分析了概率密度即電子雲的分佈，而概率密度在空間的實際分佈則是由上述兩方面聯合決定的。概率密度的空間分佈，亦即是電子雲分佈圖（黑點圖）。它可由相應的電子雲角度分佈圖和徑向分佈圖用投影的方法得到。這種圖也稱作電子雲的“實在圖象”或電子雲總體分佈圖氫原子的幾種電子雲分佈圖如圖2－37所示。

由圖可見1s和電子雲的分佈圖雖都是球形對稱的，但2s電子雲有兩個密度集中的區域。對2pz電子來説，電子雲分佈圖與其電子雲角度分佈圖還有些相似，但3pz的電子雲分佈圖和其角度分佈圖則相差甚遠了。這是因為電子雲分佈圖，除了受角度分佈影響外，還要反映徑向分佈的特點，3pz電子雲徑向分佈圖有兩個峯，故使其電子雲分佈圖出現了兩個密度集中的區域。

（4）電子雲的等密度面和界面圖

電子在空間的分佈並沒有明確的邊界，在r值較大，離核很遠的地方電子出現的概率並不為零。但實際上在離核幾百皮米以外，電子出現的概率已很小

了。為了表示電子出現的主要區域分佈，可將概率密度（|ψ|2值）相同的各點聯成一個曲面，構成等密度面。等密度面圖可清晰地表現概率密度變化的層次。下圖是2p、3p電子雲的等密度面圖，圖中每一條封閉曲線應理解為空間的一個封閉曲面，所標的數字為概率密度的相對大小。

若從等密度面圖中選出某一等密度面，電子在此面內出現的概率很大（如95％），而在此面外出現的概率很小，則可用此等密度面來表示電子雲的“形狀”（或輪廓），叫做界面圖。圖2—39是幾種電子雲的界面圖。

[思考題]對於2p電子，電子雲界面圖中有節面，其概率密度為零，那麼電子如何從節面下邊通過節面運動到節面上邊去的呢？

波函數與電子雲可以有多種函數圖形來表示它們的分佈特徵，要注意各種圖形的得出並應根據函數的內容來理解，不同圖示的不同含義。上面介紹的只是一般常用的幾種，要求重點掌握波函數的角度部分圖示與電子雲概率的徑向分佈圖。

三、波函數和電子雲的區別和聯繫

波函數和電子雲都是重要的基礎概念，它們既是不同的概念，但又是有密切的聯繫。在物理意義上，波函數是描寫核外電子空間運動狀態的數學函數式，而電子雲則是電子在核外空間出現的概率密度分佈的形象化描述。從它們的角度部分的圖形看，形狀相似但略有不同，電子雲的角度分佈圖比相應波函數的角度部分圖示要“瘦”點。而且波函數的角度部分圖示有正負號，而電子雲的都是正值。這些就是它們的不同點。可是它們都是描述核外電子空間運動狀態的，而且|ψ|2的函數圖象實際就是相應的電子雲的圖象。

在分子模擬中，徑向分佈函數有什麼意義

原子徑向分佈函數（Radial Distribution Function）：許多原子組成的系統中任取一原子為球心，求半徑為r到r+dr的球殼內的平均原子數，再將每原子的結果進行平均，用函數4prr(r)dr表示（r(r）表示半徑為r的球面上的平均原子密度），則RDF=4prr(r)稱為原子徑向分佈函數。即任一原子周圍，其他原子在沿徑向的統計平均分佈。圖4-2為由x射線散射獲得RDF描述非晶固體的原子分佈的另兩個函數為雙體相關函數（雙體概率函數）g(r）和約化徑向分佈函數G(r）約化徑向分佈函數：，r0為平均原子密度

實際上，要從理論上確定非晶態固體的徑向分佈函數，關鍵是獲得函數r(r）。這可以通過原子狀態同X射線間的干涉函數來確定。