向量公式大全
向量公式有哪些?下面讓我們一起來了解一下吧。
1、向量的加法:
向量的加法:
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
向量的加法OB+OA=OC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律:
交換律:a+b=b+a;
結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法:
如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0。
向量的減法:
AB-AC=CB.即“共同起點,指向被向量的減法減”
a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y')。
3、數乘向量:
實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ>0時,λa與a同方向;
向量的數乘:
當λ<0時,λa與a反方向;
向量的數乘當λ=0時,λa=0,方向任意。
當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0。
注:按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;
當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律:
結合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量對於數的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律:① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ.
4、向量的數量積:
定義:已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π.
定義:兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量,記作a·b.若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的數量積的座標表示:a·b=x·x'+y·y'.
向量的數量積的運算律:
a·b=b·a(交換律);
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律);
向量的數量積的性質:
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.(該公式證明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)
向量的數量積與實數運算的主要不同點:
1、向量的數量積不滿足結合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的數量積不滿足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、向量的向量積:
定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b(這裏並不是乘號,只是一種表示方法,與“·”不同,也可記做“∧”).若a、b不共線,則a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.
向量的向量積性質:
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.
a×a=0.
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.
向量的向量積運算律:
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
a×(b+c)=a×b+a×c.
注:向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.
6、三向量的混合積:
向量的混合積:
定義:給定空間三向量a、b、c,向量a、b的向量積a×b,再和向量c作數量積(a×b)·c,
向量的混合積所得的數叫做三向量a、b、c的混合積,記作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。